sábado, 25 de abril de 2015

MOVIMIENTOS



FUENTE:http://cem.epn.edu.ec/applets/PRACTICAS%20VIRTUALES/2%20MRUV/practica%20virtual_MRUV.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectil%C3%ADneo_uniformemente_acelerado



MRUV

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO

Marco teórico

El movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), se caracteriza por tener su aceleración constante, y por tanto una variación uniforme de la velocidad en el tiempo.

Existen tres ecuaciones que caracterizan este movimiento:

Estas ecuaciones son validas también de manera vectorial si ese es el caso de su utilización.

Descripción de la práctica virtual

En esta práctica se pretende que el estudiante se familiarice con el MRUV, antes de realizar la práctica presencial y de esta manera apreciar como los distintos factores como velocidad, posición, aceleración y tiempo inciden en este movimiento.

Entorno gráfico



En la práctica se podrá apreciar claramente y mediante gráficas el comportamiento de la velocidad, el desplazamiento y la aceleración en función del tiempo.

Para esto es necesario colocar ciertos valores iniciales para que el programa inicie.

Posición inicial: Coloca el vehículo en un punto inicial para iniciar el movimiento.
Velocidad Inicial: Es la velocidad inicial con la cual el sistema comenzará el movimiento.
Aceleración: Es el valor mas importante y el que caracteriza a este movimiento.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado


El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que un móvilse desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante.
Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída librevertical, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.
También puede definirse como el movimiento que realiza una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.
El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado(MUA).

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en mecánica newtoniana[editar]

En mecánica clásica el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales:
  1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes.
  2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.
  3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.
La figura muestra las relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parábola), velocidad (recta con pendiente) y aceleración (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la caída libre (con velocidad inicial nula).
El MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemáticas, respectivamente, son:
(1) a(t) = a = \frac{F}{m} = \frac{d^2x}{dt^2}


La velocidad v para un instante t dado es:
(2a)v(t)=at+ v_0 \,
siendo v_0\, la velocidad inicial.
Finalmente la posición x en función del tiempo se expresa por:
(3) x(t) = \frac {1}{2} a t^2 + v_0t + x_0
donde x_0\, es la posición inicial.
Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez del móvil. Ésta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y sustituyendo el resultado en (3):
(2b)v^2= 2 a (x - x_0) + v_0^2 \,

Observadores de Rindler[editar]

El tratamiento de los observadores uniformemente acelerados en el espacio-tiempo de Minkowski se realiza habitualmente usando las llamadas coordenadas de Rindler para dicho espacio, un observador acelerado queda representado por un sistema de referencia asociado a unas coordenadas de Rindler. Partiendo de las coordenadas cartesianas la métrica de dicho espacio-tiempo:
ds^2 = -c^2dT^2 + dX^2 + dY^2 + dZ^2, \qquad (T, X, Y, Z)\in\R^4
Considérese ahora la región conocida como "cuña de Rindler", dada por el conjunto de puntos que verifican:
\mathcal{R}_{Rind} = \{(T,X,Y,Z)\in\R^4|\ 0 < X < \infty, \; -X < T < X\}
Y defínase sobre ella un cambio de coordenadas dado por las transformaciones siguientes:
\begin{cases} t = \cfrac{c}{\alpha}\operatorname{arctanh}\left(\cfrac{cT}{X}\right), \; x=\cfrac{c^2}{\alpha} \ln \left(\cfrac{\alpha}{c^2}\sqrt{X^2-c^2T^2} \right)\; y = Y, \; z = Z\\ T = \cfrac{c}{\alpha}\ e^{\alpha x/c^2} \sinh \left(\cfrac{\alpha t}{c}\right), \; X = \cfrac{c^2}{\alpha}\ e^{\alpha x/c^2} \cosh \left(\cfrac{\alpha t}{c}\right), \; Y = y, \; Z = z \end{cases}
Donde:
\alpha\,, es un parámetro relacionado con la aceleración del observador.1
(t,x,y,z)\,, son las coordenadas temporal y espaciales medidas por dicho observador.
Usando estas coordenadas, la cuña de Rindler del espacio de Minkowski tiene una métrica, expresada en las nuevas coordenadas, dada por la expresión:
ds^2 = e^\frac{2\alpha x}{c^2}(-dt^2+dx^2)+dy^2+dz^2, \qquad (t, x, y, z) \in \times\R^4
Puede que estas coordenadas representen a un observador acelerado según el eje X, cuya cuadriaceleraciónobtenida como derivada covariante de la cuadrivelocidad está relacionada con el valor de la coordenada x:
\nabla_{\mathbf{e}_0} \mathbf{e}_0 = \alpha e^{-\frac{\alpha x}{c^2}}\ \mathbf{e}_1, \qquad \mathbf{a} = (a^0; a^1, a^2, a^3) = \left(0; \alpha e^{-\frac{\alpha x}{c^2}}, 0, 0\right)

Horizonte de Rindler[editar]

Es interesante notar que un observador uniformemente acelerado tiene horizonte de eventos, es decir existe una superficie espacial (que coincide con la frontera de la cuña de Rindler):
H^-_{Rind} = \{(T, X, Y, Z)|X^2-c^2T^2 = 0\} = \{(t,x,y,z)| x = -\infty \}
tal que la luz del otro lado jamás alcanzaría al observador acelerado. Este horizonte de sucesos es del mismo tipo que el horizonte de sucesos que ve un obsevador situado fuera de un agujero negro. Es decir, los eventos al otro lado del horizonte de eventos no pueden ser vistos por estos observadores.
El ejemplo de las coordenadas de Rindler muestra que la ocurrencia de un horizonte de eventos no está asociada al propio espacio-tiempo sino a ciertos observadores. Las coordenadas de Rindler constituyen una cartografía delespacio-tiempo plano de Minkowski. En dicho espacio un observador inercial no ve ningún horizonte de eventos pero sí lo ve un observador acelerado.

Movimiento bajo fuerza constante en mecánica cuántica[editar]

En mecánica cuántica no se puede hablar de trayectorias ya que la posición de la partícula no puede determinarse con precisión arbitraria, por lo que sólo existen análogos cuánticos imperfectos del movimiento rectilíneo clásico. El equivalente cuántico más simple de movimiento uniformemente acelerado es el de una partícula cuántica (no relativista y sin espín) en un campo de fuerzas conservativo en el que la energía potencial es una función lineal de la coordenada.
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\part^2 \Psi}{\part x^2} - xF \psi(x,t) = i\frac{\part \Psi(x,t)}{\part t}
La solución general de esta ecuación puede escribirse como transformada de Fourier del conjunto de soluciones de la ecuación estacionaria:
\Psi(x,t)= \left(\frac{m}{\hbar^2F^2}\right)^{1/3} \int_{-\infty}^{+\infty} A_E\ \hat{\psi}(x;E)e^{-iEt/\hbar}\ dE
Donde \scriptstyle A_E la amplitud es una función de la energía que debe escogerse para satisfacer las condiciones iniciales y la función \scriptstyle \hat{\psi}(x;E) en el integrando debe ser solución de la ecuación de Schrödinger estacionaria:
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\part^2 \psi_E}{\part x^2} - xF \psi_E(x) = E\psi_E(x), \qquad \psi_E(x):= \hat{\psi}(x;E)
Donde:
\hbar\, es la constante de Planck racionalizada.
m\, es la masa de la partícula.
F\, es la fuerza que se ejerce sobre la partícula.
E\, es la energía de un estado estacionario del hamiltoniano cuántico.
Haciendo el cambio de variable:
\bar{x} = - \left( \frac{2m}{\hbar^2 F} \right)^{1/3} (E+xF)
Entonces la ecuación (*) equivale a la ecuación:
\frac{d^2 \psi_E(\bar{x}) }{d\bar{x}^2} - \bar{x} \psi_E(\bar{x}) =0
Que es la ecuación de Airy, por lo que la solución general de la ecuación de Schrödinger queda en términos de funciones Airy:
\psi_E(x)=A \mathrm{Ai}(\bar{x}) + B \mathrm{Bi}(\bar{x})
Por consideraciones físicas B = 0, ya que en caso contrario la anterior función no sería acotada.
\psi_E(x)= A \mathrm{Ai}\left[\left( \frac{2m}{\hbar^2 F} \right)^{1/3} (Fx +E)\right]
Nótese que la ecuación anterior tiene solución para cualquier valor de E y por tanto los estados energéticos posibles de una partícula tienen un espectro continuo (a diferencia de lo que pasa para otros sistemas cuánticos con niveles de energía discretos).

Efecto Unruh


En 1975, Stephen Hawking conjeturó que cerca del horizonte de eventos de un agujero negro debía aparecer una producción de partículas cuyo espectro de energías correspondería con la de un cuerpo negro cuya temperatura fuera inversamente proporcional a la masa del agujero. En un análisis de observadores acelerados, Paul Davies probó que el mismo argumento de Hawking era aplicable a estos observadores (observadores de Rindler).2
En 1976, Bill Unruh basándose en los trabajos de Hawking y Davies, predijo que un observador uniformemente acelerado observaría radiación de tipo Hawking donde un observador inercial no observaría nada. En otras palabras el efecto Unruh afirma que el vacío es percibido como más caliente por un observador acelerado.3 La temperaturaefectiva observada es proporcional a la aceleración y viene dada por:
kT = \frac{\hbar a}{2\pi c}
Donde:
k\,, constante de Boltzmann.
\hbar, constante de Planck racionalizada.
c\,, velocidad de la luz.
T\,, temperatura absoluta del vacío, medida por el observador acelerado.
a\,, aceleración del observador uniformemente acelerado.
De hecho el estado cuántico que percibe el observador acelerado es un estado de equilibrio térmico diferente del que percibe un observador inercial. Ese hecho hace de la aceleración una propiedad absoluta: un observador acelerado moviéndose en el espacio abierto puede medir su aceleración midiendo la temperatura del fondo térmico que le rodea. Esto es similar al caso relativista clásico, en donde un observador acelerado que observa una carga eléctrica en reposo respecto a él puede medir la radiación emitida por esta carga y calcular su propia aceleración absoluta

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